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Calculer pi

Kouwaa ? Des maths ?

Et bien oui, jeune prépubère. Aujourd'hui on va bouffer des maths et du code, afin de calculer nous mêmes (sisi), l'un des nombres les plus fascinants : 42 Pi.

Tout d'abord, nous allons rappeler les bases :
L'aire d'un cercle est égale au produit de son rayon au carré et de pi.
Soit A = r² x pi

C'est tout ce dont vous aurez besoin Smile.

Maintenant, entrons dans le vif du sujet, avec cette figure :
[Image: 9AAgfIf.png]
Il y a deux charabias à gauche du quart de cercle inscrit dans le carré.
  • e = sqrt(1-x²) //C'est l'équation de la courbe qui délimite l'aire verte
  • La deuxième ligne Wink. Elle veut dire littéralement "Pour tout point I appartenant au rectangle ABCD, la probabilité que I appartienne à l'aire délimitée par e est égale à pi/4. Par conséquent, pi = 4 x cette probabilité. "
    Vous vous demandez sans doute comment j'arrive à ce résultat. Et bien, j'ai tout simplement utilisé une règle élémentaire de probabilité, en faisant le quotient de l'aire délimitée par e et de l'aire d'ABCD.
    La surface délimitée par e étant un quart de cercle, son aire est égale à (pi x r²) / 4 soit pi / 4 puisque r = 1.
    L'aire du carré étant égale à 1, la probabilité qu'un point appartienne à la surface délimitée par e est égale à son aire, on trouve alors pi / 4.

Si vous avez compris, vous savez ce qu'il vous reste à faire pour calculer pi ;D.

On va trouver la probabilité qu'un point appartienne à l'aire en simulant des points aléatoires dont les coordonnées restent dans le carré ABCD. Donc, codons ça, d'abord en python pour un rapide prototypage.

Code PYTHON :

import sys
from random import random
from math import sqrt

f = lambda x: sqrt(1 - x ** 2)

if len(sys.argv) >= 2:
    n = int(sys.argv[1])
else:
    n = 1000000

points = 0

for i in range(n):
    x, y = random(), random()

    if y <= f(x):
        points += 1

print("pi =", 4 * points / n)
 


Ça marche ! On obtient bien un début de 3.1415... Mais voila, notre code python est trop lent. Recodons ça en bon vieux C des familles !

Code C :

/*
 * C'est ce programme qui va générer des positions
 * de points aléatoires afin de calculer la
 * probabilité qu'un point appartienne à la surface
 * délimitée par e, et ainsi trouver une approximation
 * de pi.
 */


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#include <math.h>


/* Ceci est la formule de la courbe e */
#define f(a) sqrt(1 - pow(a, 2.))

/*
 * La méthode utilisée pour générer un nombre aléatoire
 * entre 0 et 1.
 * (en effet, il se peut qu'elle ne soit pas optimale
 * c'est pour cela j'ai créé une macro spéciale en vue
 * de conserver un code propre même s'il y a une amélioration )
 */

#define rand_inf_1() drand48()

int main(int argc, char* argv[])
{
    double x, y;
    int n, i, points = 0;

    srand48(time(NULL));

    /* Si on n'entre aucun argument à la ligne de commande,
     * on fait 1'000'000 de lancers par défaut */

    if (argc > 1)
        n = atol(argv[1]);
    else
        n = 1000000;

    for (i = 0; i < n; i++) {
        /* On donne des coordonnées aléatoires au point */
        x = rand_inf_1();
        y = rand_inf_1();

        /* Si le point appartient à la surface */
        if (y <= f(x))
            ++points;
    }

    printf("pi = %f\n", (double) 4 * points / n);

    return 0;
}
 


On peut alors obtenir une meilleure approximation, et ce en un temps plus court qu'en python.

Voila ! J'espère que vous avez compris que le calcul de pi n'est pas magique. Si vous avez la moindre question n'hésitez pas, je vous répondrai avec plaisir.

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